閱讀數學/視覺化的小數(上)

示意圖/Ingimage
示意圖/Ingimage

數學家馬特.亨德森(Matt Henderson)發明了一種方式,可以將數字轉換成圖像。每位數都會畫出一單位長的線段,數字本身則代表畫筆的「旋轉角度」。因為數字只有0~9,所以他就將360°分成十等分,如果出現數字1就順時針旋轉36°後,再畫1單位;數字2就順時針旋轉36°×2=72°;如果出現數字0就不旋轉,朝著原方向畫。

舉例來說,畫567這個數時,首先讓畫筆停在原點,面向12點鐘方向。接著,順時針旋轉36°×5=180°,朝6點鐘方向畫一單位;再順時針旋轉36°×6=216°,朝約1點鐘方向畫一單位;最後順時針旋轉36°×7=252°,朝約10點鐘方向畫一單位。感覺操作有些麻煩,不過亨德森也沒有傻傻地一個一個算,他將以上這些寫成程式,讓電腦直接畫給我們看。而他餵給程式的就是「循環小數」。

§小數視覺化的規則

如果只是隨意的一串數字,那麼畫出來也就只會是凌亂的線條。但循環小數存在「循環節」,也就是會一直重複的部分。有了規律,繪出的圖樣也脫胎換骨,變成精緻的花紋。我們舉「七分之一」作為例子,它寫成小數是0.142857……,循環節是142857。雖然循環小數的位數無窮無盡,但按照亨德森訂定的規則畫圖,筆跡卻會回到原點,最終變成像是10片葉子的風車圖案。

咦?為什麼是10片?原來,關鍵在於循環小數的循環節加總後的「個位數」

這個數代表了每畫一組循環節轉了幾度,而要在畫完循環節剛好繞回來,就必須一直加,直到個位數變成0。像是142857的數字總和1+4+2+8+5+7=27,個位數是7,所以要畫10次才行。整理規則後可以得到──如果個位數是1、3、7、9這些和10互質的數,就只能乖乖畫10次;但如果是偶數2、4、6、8,只要畫5次就能被10整除;而個位數為5時,則只要2次即可。

(未完待續)

本篇文章與數感實驗室李瑞祥共同完成。

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