科技．人文聯合講座／暗藏玄機的曼哈頓距離

在歐基里德空間，兩點之間的距離乃連接它們的線段長度，但在紐約曼哈頓可不能這麼算。

曼哈頓的棋盤式街道聞名於世，南北向的Avenue（大道）和東西向的Street（街道）像棋盤格線那般交錯。奧黛麗赫本主演的「第凡內早餐」，劇中著名的鑽石珠寶店坐落於第五大道和東五十七街交會處，它的鄰舍川普大樓，如今也成為川粉打卡的熱門景點。從該處沿著第五大道往北走，然後在東七十一街右轉直走，不久後就可在萊辛頓大道和第三大道之間，親睹奧黛麗赫本坐在逃生梯窗口邊彈吉他，邊唱「月河」的出租公寓。

在曼哈頓，兩點之間的距離，通常以它們的東西差距，再加上南北差距計算之，該度量就稱為「曼哈頓距離」（Manhattan Distance）。例如從第一大道和東八十街交會處，到第三大道和東六十五街交會處，它們的距離為東西差距兩條大道，再加上南北差距十五條街。換句話說，在兩個維度的平面裡，將兩點的Ｘ軸差距與Ｙ軸差距相加，即為曼哈頓距離。若將定義拓展到多個維度的空間，兩點之間的曼哈頓距離就是它們在各個維度的差距總和。

曼哈頓距離是一種常見的計算幾何度量，它的應用包括統計回歸分析、訊號壓縮感知、頻率分布差異分析等。在機器學習領域，曼哈頓距離也被用來計算兩個物件之間的距離，執行效果有時勝過歐基里德直線距離和其他度量。以前教科書上所讀的都是理想狀況下的平面圖，計算兩點之間的曼哈頓距離，只要將Ｘ軸差距與Ｙ軸差距加總即可。日前在曼哈頓居遊一段時光，細細體會下才領悟到曼哈頓距離在曼哈頓並不完全適用。

首先，地球表面是曲面，而非平面，度量上本就存在些許誤差。其次，曼哈頓名稱來自原住民語，本意為「眾多山丘之島」，不少路面高低起伏不定。即使是棋盤式工整的上東城，兩點之間的距離計算也必須考量它們的坡度落差，以及行走時上下坡度合計最少的路徑。再者，如果要從東五十二街上，介於第二大道和第三大道間的某家旅店，走到東五十八街，同樣介於第二大道和第三大道間的某中餐館，其東西方向的行走距離，並非Ｘ軸差距，而是兩點與大道路口的距離總和。最後，就像台北的羅斯福路和基隆路一般，百老匯大道乃穿越棋盤格線的斜邊捷徑。

曼哈頓距離又被稱為「計程車距離」（Taxicab Distance），這更與在曼哈頓的搭車經驗相去甚遠。車資、交通號誌、速限、單行道、路面坡度、街道修繕及示威活動等，都是影響行車路線的變數。例如從上東城搭車到下城，為了更快速抵達，通常會先往東上FDR河濱快速道路，再於下城交流道駛出，行車路線與棋盤式路線迥然不同。

走過，路過，方能體悟曼哈頓距離原來暗藏不少玄機哩！

（作者為台灣大學資訊工程系教授）