從數學學習了解孩子/給他們空間思考和幻想

COVID19 也稱新冠病毒,造成許多家庭必須在家施行自學教育(homesechool),不論是美國的公立學校,提供線上遠距教學,還是加拿大的回歸家庭生活教育,沒有教程和功課;許多家庭都面臨在家負起教育孩子功課的任務。這是一個很特殊的時期!特別有時間也特別有必要和孩子相處的時光。和孩子互動,我們從數學學習來了解孩子,觀察孩子們如何從做數學,找到自己獨特的思考方式。

美國的公立教育標準學程( Common Core State Standards Initiative)是標準化公立學校教育目標和內容的美意,它除了透過州教育廳訂立標準表達K-12(大班到高三)每一學年必學達到的學習目標,還在學習過程加入了對孩子們面對基礎科學時活用思考的期許,也就是不只要學會,還要孩子們知道是怎麼會的。因此才有所謂建構式數學的教法和評量標準。

也就是121+35,可以拆解成10個10加2個10再加3個10等於150,1個1加5個1等於6,150+6等於156。這樣的做法原意是好的,希望孩子在看到數字時,數字本身不是一個黑盒子,而是透明到可以被解構重組的數字。

這樣的做法連帶的思考觀點是,不要停滯在簡單的表面,走進表面,深度思考我們所熟悉的數字。

不同年紀小朋友會利用不同方式解數學題,數學能力跟她(他)們的心理直覺和理解的舒適度有關。
不同年紀小朋友會利用不同方式解數學題,數學能力跟她(他)們的心理直覺和理解的舒適度有關。
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學加減法的小朋友大多在3-8歲,我們做了一個實驗,對一個6歲一年級小朋友出了一題: 8+8+8+8+8+8+8+8=? 一連8個8。首先,小朋友在面對老師基於禮貌表現了不畏懼的態度,接下來他拿出手指頭一個個數上去,數完一個8,接著數下一個8,問他如何得出64,他很淡定地說:啊就一直數上去呀!

同一題出給二年級小朋友,她也是一個個8累加起來(不用手指),開始有滿十進位的概念,這很棒,這是抽象的思考。三年級小朋友,有了乘法概念,他(她)們開始回想8乘5=? 8乘6=? 8乘7=?那麼8乘8=64。四年級以後小朋友開始可以告訴你8乘8也等於8乘10減掉2乘8,也就是它們是八組各少了二的十。

我們發現,要拆解數字做加減通常必須具備比加減更高一層的數學能力。也就是有乘除法觀念的小朋友比較容易回過頭來拆解數字做加減。

因為,乘除法也由加減法演進而來。因為,數學經驗給了小朋友用數學方式(乘除)表達數學意見(加減)的能力。但是,對初學加減的一二年級小朋友,要他們在累加過程還要記憶如何拆解數字並不容易,它不容易的地方是違反了這年紀小朋友最直覺的反應(intuitive response):這個直覺反應是他(她)們認為自己可以做得到的方法,在這裡便是一根根指頭數上去。這點非常重要!這個自我判斷包含了他(她)們心中自然流露的安全感!

小小朋友的走、跳,都是很棒的學數數的機會。
小小朋友的走、跳,都是很棒的學數數的機會。
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因此,要小朋友學數學時懂得思考是美意,但小朋友必須在他(她)們能力基礎上發展能夠理解和應用的思考模式。

新加坡數學把這點考慮進去了,沿用上題,小朋友很快發現累加8個8是做了許多次8+8,更精確說是4次(8+8,8+8,8+8,8+8),那麼8+8+8+8+8+8+8+8又等於16+16+16+16又等於32+32,這對二年級小朋友來說是比較容易理解的,這是拆減數字做加法運用。因此,新加坡數學將拆解數字變成計算的一部分讓小朋友從演算中習慣一些數學思考方法,以便應用。這個階段必須這樣,讓小朋友有一些拆解數字的經驗,他們會在運算中漸漸理解這些拆解的功能和意義。這裡很重要的概念是,利用數學題目,讓小朋友理解數字拆解。

這個實驗我們學習到:小朋友的學習必須建立在他們認為自己做得到的方法上,同時必須給他們一些經驗,做為應用的基礎。

這裡頭,我們要請父母觀察的是:您的小朋友認為自己做得到的是甚麼(用手指數還是十進位)?以及他(她)們從運算經驗中累積了什麼能力?

或者更精確的:他(她)們傾向為自己累積什麼樣的能力(用加法、用乘法)?

認為能夠算8+8+8+8+8+8+8+8的一年級小朋友,我們建議讓他(她)們思考一下80+80+80+80+80+80+80+80,這題跟之前的累加8很類似,但要求(demand)他(她)們想像超過兩位數的境界。二年級小朋友則可以讓他(她)們從兩位數到三位數以上的加減法中尋找更多變奏。這樣的做法是讓小朋友更清楚知道自己會的是什麼(有多會加、多會減)?自己還不會的是什麼?

他(她)們不需要馬上把答案做出來。給他(她)們空間思考和幻想,對,小朋友是會利用數學幻想的。

思考一下會1-2位數加法卻不會3-4位數加法的侷限,這裡頭的思考每個小朋友都不一樣,有些小朋多一些猜測和估算,甚至多些錯誤(沒關係),有些小朋友多一些耐力按部就班慢慢數。請觀察您的孩子,如何面對超過他(她)們基本運算能力而只是放大數字的數學題:願意慢慢數的小朋友可以從多種數數(counting,skip counting, number pattern)等練習幫助他們肯定自己的能力,在他們覺得安全舒適的情況下,觀察他(她)們下一步如何整理數字訊息(grouping),例如加起來10的圈成一起。願意猜測冒險的小朋友不妨讓他(她)們再試試類似的題目,累加12個12,13個13,再放大成12個120,13個130,幫助他(她)們鞏固探索歸納與整理數字的經驗。

退卻的小朋友不妨再給他(她)們更簡單的8+8,80+80,累加兩次或三次就好,讓他(她)們從自己能夠處理的數字經驗中去想像和理解自己尚無法處理的程度。

學數學的過程處處是孩子思想茁壯的路徑,請觀察並發掘他(她)們的能力和困境,能力是家長表現肯定的時刻,困境是家長介入引導的契機,請相信,錯誤或不會都是非常重要的學習過程。掌握這些細膩的親子互動,您將發現,孩子在安心而適切的引導下,他(她)們會展現驚人的跳耀式成長,重點是,捕捉那個成長的當下,和孩子站在一線!當那些當下都有父母的正能量陪伴時,孩子會更願意主動理解,因為他們的主動,是一種對父母的善意回應,這種善意,在孩子來說,經常是最本能的。

許多這樣的成長當下,匯聚成成長路徑,思考便在這樣獨一無二的路徑裡匯流,澎湃!加油!辛苦的父母親,陪伴孩子是珍貴而必須細膩的,把握那些重要時刻,孩子們會為您帶來前所未有的驚喜!不是因為他們達到了大人的要求,而是他們找到了讓自己願意思考的契機!

請帶領小朋友想像一下如何數這幅裝置藝術裡所有的塑膠球!
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