115學測數學／幾乎年年考！數A靠「這些章節」搶分 混合題結構、出題方向預測

學測將至，有些學生摩拳擦掌準備大展身手，有些學生一籌莫展看到題目就腦袋一片死寂。讓我用數學與您討論學測數A考題的走勢跟題型，讓您從從容容、游刃有餘。

數A的核心集中在空間感、函數應用與向量。以下是近十年出現比率最高的前15種題型分布（估計比率）：

從上述比例的分佈可以對數學不知所措的學生，來個出題「高比例」的搶分大作戰。尤其是指數、三次函數的對稱中心應用、三角函數的正餘弦疊合公式、向量線性組合與拆解，個人更是認為年年出年年考。應該把這些章節的內容、公式跟知識點熟記並且熟練應用。

如果我們再把時間拉近到近三年（112-114）必考冊別與單元

空間與向量的絕對統治：

• 第四冊「空間中的平面與直線」：幾乎每年必考兩題以上。數 A 考生必須熟練歪斜線與空間投影。

• 平面向量的線性組合：結合幾何圖形判斷係數大小。

矩陣的幾何意義：

• 這兩年特別愛考矩陣變換後的面積變化（Det），以及旋轉、鏡射矩陣的性質。

三角函數的幾何化：

• 不再只是代數運算，而是給定一個複雜圖形（圓內接多邊形等），要求使用正餘弦定理解題。

指對數的素養應用：

• 通常結合生活情境（如地震震級、音量、人口增長）考對數計算。

淺談混合題

學測數A的「混合題」（通常是第 18-20 題，約佔 15 分）是整份考卷的「壓軸」，也是展現數A與數B鑑別度的關鍵戰場。

分析111至114年的考題，我們可以歸納出三大核心出題方向與一個解題結構規律。掌握這些，你在面對混合題時就不會慌張。

一、「空間幾何」的坐標化能力

這是數A最愛考的題型。題目通常會給一個立體圖形（金字塔、正四面體、甚至是不規則的多面體），要求你分析其中的長度、角度或面積。

出題模式：

• 第一小題（選填）：通常是很簡單的幾何性質判斷。

• 第二小題（非選）：要求你自行建立 (x, y, z) 空間坐標系，將幾何圖形轉化為「點」與「向量」。

• 第三小題（非選）：利用坐標算出的向量，進行內積運算求夾角，或是用外積求法向量。

關鍵能力： 你必須要能「無中生有」地畫出(x, y, z) 軸，並正確寫出頂點坐標。

二、「三角函數」與「向量」的結合（幾何推論）

這類題目通常不給坐標，而是給定邊長關係或角度，要求利用正餘弦定理搭配向量內積來解題。

出題模式：

• 常結合「圓」或「摺紙問題」。

• 要求證明某兩線段垂直（即證明內積為 0）。

• 利用向量的分點公式來推導面積比。

關鍵能力： 要習慣在沒有坐標的情況下，利用 “向量平方” 展開來處理長度問題。

三、「函數圖形」的掃描與極值（數形結合）

這在111年考過，雖然近兩年偏向空間，但仍是數 A 的潛在熱點。題目會涉及直線與多項式函數圖形的交點變化。

出題模式：

• 一條直線在坐標平面上移動（掃描），問你何時切於函數圖形、何時有三個交點。

• 這類題目在大學端視為微積分的前導觀念（切線斜率）。

關鍵能力： 對圖形的「特徵點」（頂點、反曲點、切點）要有高度敏感度。

混合題解題結構規律：鷹架理論

混合題的設計非常有層次，通常遵循「引導-應用-推廣」的邏輯：

1. 第一小題（單選/填充）：是「提示」不是獨立題

• 這題通常最簡單。請注意：這題的答案或觀念，絕對是後面兩題的解題鑰匙！

• 如果你在做第二小題卡住，請回頭看第一小題算出了什麼（例如算出某個邊長、某個角度），那個數據一定會用到。

2. 非選題的評分重點：溝通與邏輯

• 數A的非選題不只看答案，更看「過程」。

• 必殺技： 即使算不出來，也要用文字寫出你的思路。

▪ 例如：「設 P 點坐標為 (t, 2t, 0)，因 P在平面 E 上，代入方程式...」

▪ 光是寫出這個「假設」與「代入」的動作，通常就能拿到 1~2 分的墨水分。

115學測混合題預測

綜合這幾年的趨勢，數A混合題極大機率會鎖定在以下兩個單元之一：

1. 矩陣變換的幾何題：

• 目前混合題還沒大規模考過矩陣（大多在填充出），但這是數 A 獨有單元。

• 預測方向： 給一個圖形，經過線性變換（旋轉+伸縮）後，問面積改變多少？或是變換後的點在哪裡？並要求畫出變換後的圖形。

2. 空間中的平面與直線（歪斜/投影）：

• 這是萬年不敗款。

• 預測方向： 結合「光線投影」或「最短距離」。例如：求歪斜線公垂線段的兩端點坐標。

混合題其實是「披著狼皮的羊」，看似很難其實它有邏輯性、有引導、有步驟，只要你不怕繁瑣的文字敘述，按部就班通常比前面的多選題還容易拿分！

看完內文，我想您更知道從哪個單元開始搶分，一分一分拿，穩扎穩打別慌張才是致勝關鍵，祝您數A分數大展鴻圖，所向披靡。