閱讀數學／騎士巡遊（中）

上週，我們講歐拉從七橋問題的思路出發，開始分析騎士巡遊。他首先發現了對稱的規則。接著，歐拉將棋盤切成好幾塊小棋盤。如果每一塊小棋盤都有解，那拼起來的大棋盤也有解。他還嘗試切割路徑，經過翻轉、重組後就能得到更漂亮的解法。當眾人只關注下一步、下兩步時；歐拉彷彿盤旋在棋盤上空的老鷹，綜觀全局，提出了完整的解決之道。

1758年底，柏林科學院將騎士巡遊認定為學術問題，「懸賞」4000法郎，徵求學者們來挑戰。一年後，獎金發不出去。為什麼會這樣呢？那可是天才薈萃的年代。答案還是歐拉。作為柏林科學院的數學部主任，歐拉雖然不能參加自己家舉辦的比賽，但他在1759年提交了論文《一道看似不受任何分析方法處理的奇特問題之解》（Solution d'une question curieuse qui ne paroit soumise à aucune analyse），講述了他對騎士巡遊的解法。

雖然論文沒有立刻發表，但或許是讀過的同儕口耳相傳。甚至，歐拉更早前就寫信給另一位知名數學家哥德巴赫，分享了他對騎士巡遊的部分研究結果。

「歐拉應該已經解完了吧。」

「不可能解贏歐拉的。」

我們不確定這樣的想法是否真實存在，但的確在該年的比賽，最終沒有人得獎。而且，落選名單上也是一片空白。沒人得獎，也沒人落選，很高的機率，也沒人參加這場比賽。

既然是演算法，那演算法分析之父當然也要參一腳。歐拉在他的時代奠定了騎士巡遊的分析。直到近代，許多科學家、數學家依然為此著迷。《The Art of Computer Programming》的作者，也是近代非常重要的電腦科學家高德納（Donald Knuth）也有涉獵騎士巡遊。他寫了一首4行，每行8個字的詩：

One knight jumps like three rook-wise steps.

Past sore too mean; so just for free,

Hopes here, turns there, flies each goose now.

Can’t place last word? Won’t find the sea.

這是什麼？

（未完待續）