科學人／卡關200年！一元高次方程式出現全新突破

求解一元二次方程式的歷史可追溯至西元前1800年，聰明的巴比倫人發明了「配方法」，成為教課書中最經典的標準公式解法。配方法在求解根（roots）的過程中，需要使用特殊的根號符號（Radical symbol），隨著人們對根號的理解越來越深入，在16世紀逐步發展出求解一元三次甚至四次方程式的技巧。然而，五次方程式是否存在公式解這個問題，卻懸宕了很久。

1832年法國數學奇才伽羅瓦（Évariste Galois）證明，五次或更高次數的方程式無法使用根號的型式寫出通式解，為這套求解系統的代數發展畫下明確界線。此後，數學家開發出數值方法，用近似的辦法解出高次方程式。這些五花八門的近似法也成為現代工程與應用科學的重要工具，只是這類技巧始終不屬於純代數的範疇。

無理數的問題：無限到底能否「存在」？

最近，澳洲新南威爾斯大學數學家維爾德伯格（Norman Wildberger）教授再次挑戰這項限制，發表了一種全新的解法。

維爾德伯格長期質疑近似法中使用無理數的合理性，他認為 2 或 ³√7 這樣的數是一種抽象而非具體的數字，實際上是永遠無法完整寫出來的無限小數。若能澈底擺脫根號與無理數，另闢解題蹊徑，或許能在這類命題找出一線生機。

這樣的觀點也催生了他過去提出的「有理三角學」（rational trigonometry）與「普遍雙曲幾何學」，皆試圖以有限可計算的運算取代傳統依賴無限與三角函數的方式。

卡塔蘭數的靈感：從圖形分割到方程解法

維爾德伯格與電腦科學家魯賓（Dean Rubine）發明的新方法，核心概念來自一組新發現的數列「Geode」，Geode數可視為著名的卡塔蘭數（Catalan numbers）在多維空間中的推廣。卡塔蘭數源自組合數學，用以描述如何將多邊形以不交叉的對角線分割成三角形，廣泛應用於演算法、RNA結構分析以及資料結構等領域。

維爾德伯格認為：「如果卡塔蘭數與二次方程高度相關，那麼高次方程的解法可能也隱含在更高階的組合結構中。」

他們發展出的Geode數列，就是一種高維組合結構，可以反映方程式的幾何與代數關係，並且不需借助無理數或傳統根號。

從幾何邏輯出發，建立新代數工具

這項方法的關鍵，在於以「級數展開」表達解。雖然級數本身可包含無限項，但維爾德伯格強調，只要截斷適當項數，就能取得實用的近似值，並可透過邏輯推理驗證解的一般性。

他們成功測試了經典的三次方程，例如華立斯 （John Wallis）曾用來展示牛頓法的方程式，顯示這套方法確實可行。

數學基礎的修正？

維爾德伯格表示：「這項研究為高次方程式找到具體且具邏輯基礎的代數解，也代表19世紀以來數學理論的一種反思與修正。我們發現了一條通往高次方程式的代數之路，這可能是代數學教科書需改寫的時刻。即使是五次多項式，現在也有解了。」

更令人期待的是，這種方法可能成為許多應用數學的核心計算，可望廣泛的改進演算法技術，發展為新型電腦演算法的基礎，取代目前依賴浮點數與數值近似的方式，帶來更高效與準確度的計算模式。

未來的數列宇宙：Geode的潛力

這組Geode數列不僅延伸了卡塔蘭數的應用邊界，也可能催生新的數學分支。維爾德伯格認為，這條道路才剛開始：「Geode數列本身就是一個值得獨立研究的新領域，可能會讓無數組合數學家忙上好幾年。我們打開了一道門，後面還有整片宇宙等著大家探索。」

資料來源：

1.Researchers Solve “Impossible” Math Problem After 200 Years

2.Wildberger, N. J., and Dean Rubine. "A Hyper-Catalan Series Solution to Polynomial Equations, and the Geode." The American Mathematical Monthly (2025): 1-20.

（本文出自2025.08.19《科學人》網站，未經同意禁止轉載。）