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科學人/數學界激讚!2女高中生發明10種畢氏定理新證法 論文登學術期刊

尼琪亞(Ne'Kiya Jackson)(左)與卡爾西亞(Calcea Johnson)(右)。圖/Calcea Johnson
尼琪亞(Ne'Kiya Jackson)(左)與卡爾西亞(Calcea Johnson)(右)。圖/Calcea Johnson

畢氏定理是國中數學課一定都會學到的一個定理。這個據說是所有數學定理中,證明方法最多的其中一個定理,目前已有大約400種證明。

為了500美金,跟一題數學作業拼了

卡爾西亞(Calcea Johnson)與尼琪亞(Ne'Kiya Jackson)在採訪時提到,本來這就只是課堂上的一題作業,但是在500美元的獎金激勵下,她們在接下來的好幾個月裡,把所有的時間都用在完善這個證明上面。最後他們不但發明了一個新的證明方法,贏得了紐奧良市的「城市鑰匙獎」,甚至得到美國前第一夫人米歇爾·歐巴馬(Michelle Obama)的讚譽。

她們也因此受邀在2023年3月在亞特蘭大的美國數學學會(American Mathematical Society)地區會議上分享了他們的研究結果,成為該會議上最年輕的講者。

在新奧爾良聖瑪麗學院的一名不願具名的志願者鼓勵下,他們將證明結果投稿至學術期刊,並於2024年10月底發表在《美國數學月刊》(American Mathematical Monthly)。

畢氏定理與三角學歷史上的證明挑戰

畢氏定理表示,在直角三角形中,斜邊(最長邊)的平方等於另外兩邊平方之和。

圖擷自科學人雜誌
圖擷自科學人雜誌

是餘弦定理是的一個特例,是最知名的幾何定理之一。過去數百年來,許多數學家利用各種代數與幾何方法證明這一理論。

直角三角形當然屬於三角形的其中一種,數學上有一個專門研究三角形的分支,叫做三角學(Trigonometry)。多年來,用三角學來證明畢氏定理一直是不被認可的,因為三角學的基本公式隱含了畢氏定理,這會導致循環論證(circular reasoning)的問題。

儘管如此,卡爾西亞與尼琪亞仍然解決了這一數學難題,並提出以不依賴循環論證的全新證明方法。這種突破在數學界也是極其罕見,過去僅有兩位數學家成功做到這等成就。

英國布里斯托大學(University of Bristol)數學學院名譽教授默多克(Tom Murdoch)也稱這項研究非常有趣,並且她們打破了很多人認為不可能的成就!

研究成果與學術分享

卡爾西亞與尼琪亞避免循環論證的技巧就是,從頭到尾都不要假設商高定理是對的。

卡爾西亞與尼琪亞的論文詳細闡述了五種全新的三角學證明方法,並揭示出另外五種潛在證明方法,總共提供了十種證明方法。在這些證明中,僅有一項曾在會議上公開過,其餘九項均為全新發現。

在他們的論文中,卡爾西亞與尼琪亞指出,三角學之所以常常讓高中生感到困惑,是因為兩個完全不同版本的三角學定義卻使用相同術語。這導致學生在學習時如同在解讀一幅重疊的雙重影像。他們發現,如果分開這兩個版本,並專注於其中之一,即可揭示大量的商高定理新證法。

學術界的大力讚譽

《美國數學月刊》總編輯丹堡(Della Dumbaugh)評論道:「本傑明·芬克爾(Benjamin Finkel)在1894年創立《數學月刊》時的初衷,即是要讓數學知識能夠被教師與學生輕鬆理解並應用。能夠刊登這兩位學生的研究成果,實屬本刊的榮幸。他們的發現彰顯了學生們在數學領域中的新視角與潛力,同時也突顯了教育工作者在培育新一代數學家的重要角色。」

加州大學洛杉磯分校(UCLA)數學戲中生教授、菲爾茲獎(Fields Medal)得主陶哲軒(Terence Tao)也在自己的社群平台上,大力讚賞兩位學生偉大的數學成就。

而兩位數學少女未來是否想成為數學家呢?答案是「不想」。

卡爾西亞目前在路易斯安那州立大學(Louisiana State University)主修環境工程學。尼琪亞則於路易斯安那州的澤維爾大學(Xavier University of Louisiana)攻讀藥學博士學位。但是無論如何,她們都在數學史上留下偉大的貢獻。

資料來源:

1. Jackson, Ne'Kiya, and Calcea Johnson. "Five or Ten New Proofs of the Pythagorean Theorem." The American Mathematical Monthly 131.9 (2024): 739-752.

2. High school students present five new ways of proving Pythagoras' Theorem via trigonometry

3. 勾股定理還能這樣證明?高中生一連發現10種證明方法

(本文出自2024.11.19《科學人》網站,未經同意禁止轉載。)

數學 科學人雜誌 高中生

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