閱讀數學／真的那麼無敵？ 精算下誕生的無敵大麥克

「大麥克」是麥當勞的最經典產品，經濟學家甚至用「大麥克指數」來做為衡量各國物價與消費力的指標。你知道，麥當勞有更重量級的「無敵大麥克」嗎？去年2月下旬，無敵大麥克限時銷售1個月，招牌漢堡厚還要更厚，完全征服了饕客們的嘴。

今年，無敵大麥克旋風回歸。無敵大麥克由上往下分別是：芝麻麵包、紐澳100%純牛肉、紐澳100%純牛肉、美式醃酸黃瓜片、生菜、洋蔥丁、大麥克醬、麵包、紐澳100%純牛肉、紐澳100%純牛肉、吉事片、生菜、洋蔥丁、大麥克醬、麵包，共計15層。

不過，仔細觀察「生菜」、「洋蔥丁」和「大麥克醬」各都放了2層，而它們其實都是「無法獨立成為一層」的食材。如果同樣多大麥克醬，只要放的位置不同，也能夠創造更多層。只能說麥當勞的無敵大麥克，是在口感和商業的雙重考量下，精算誕生的。

既然提到各項食材的排列，就免不得想來算算看，究竟無敵大麥克能有多少種排列組合呢？我們假設維持商業宣傳的15層，食材不更動，且滿足以下條件：

①最上層一定要是芝麻麵包、最下層一定要是麵包

②2層生菜、2層洋蔥丁和2層大麥克醬不能相鄰（不然看起來就是1層了）

③相同的食材之間沒有差異（每片牛肉看起來都一樣！）

如果將生菜、洋蔥丁和大麥克醬稱為非獨立食材，我們提供的計算策略是：

全部－（有一種非獨立食材相鄰）×3＋（有兩種非獨立食材相鄰）×3－（三種非獨立食材都相鄰）

寫成算式是：

13!/4!2!2!2! － (12!/4!2!2!)×3 ＋ (11!/4!2!)×3 － (10!/4!) ＝ 19,807,200

有將近2000萬種，如果一個個做的話，幾乎全台灣每個人都可以拿到不同款式。下次吃無敵大麥克的時候，不妨想想，手上拿著的可是2000萬之中選一的漢堡喔！

本篇文章與數感實驗室李瑞祥共同完成。