閱讀數學／視覺化的小數(上)

數學家馬特．亨德森（Matt Henderson）發明了一種方式，可以將數字轉換成圖像。每位數都會畫出一單位長的線段，數字本身則代表畫筆的「旋轉角度」。因為數字只有0～9，所以他就將360°分成十等分，如果出現數字1就順時針旋轉36°後，再畫1單位；數字2就順時針旋轉36°×2=72°；如果出現數字0就不旋轉，朝著原方向畫。

舉例來說，畫567這個數時，首先讓畫筆停在原點，面向12點鐘方向。接著，順時針旋轉36°×5=180°，朝6點鐘方向畫一單位；再順時針旋轉36°×6=216°，朝約1點鐘方向畫一單位；最後順時針旋轉36°×7=252°，朝約10點鐘方向畫一單位。感覺操作有些麻煩，不過亨德森也沒有傻傻地一個一個算，他將以上這些寫成程式，讓電腦直接畫給我們看。而他餵給程式的就是「循環小數」。

§小數視覺化的規則

如果只是隨意的一串數字，那麼畫出來也就只會是凌亂的線條。但循環小數存在「循環節」，也就是會一直重複的部分。有了規律，繪出的圖樣也脫胎換骨，變成精緻的花紋。我們舉「七分之一」作為例子，它寫成小數是0.142857……，循環節是142857。雖然循環小數的位數無窮無盡，但按照亨德森訂定的規則畫圖，筆跡卻會回到原點，最終變成像是10片葉子的風車圖案。

咦？為什麼是10片？原來，關鍵在於循環小數的循環節加總後的「個位數」。

這個數代表了每畫一組循環節轉了幾度，而要在畫完循環節剛好繞回來，就必須一直加，直到個位數變成0。像是142857的數字總和1+4+2+8+5+7=27，個位數是7，所以要畫10次才行。整理規則後可以得到──如果個位數是1、3、7、9這些和10互質的數，就只能乖乖畫10次；但如果是偶數2、4、6、8，只要畫5次就能被10整除；而個位數為5時，則只要2次即可。

(未完待續)

本篇文章與數感實驗室李瑞祥共同完成。