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閱讀數學/格子點上的面積(下)
上周我們介紹了可以用數的求出面積的「皮克定理」:只要頂點在格子點上,簡單多邊形的面積可以直接套用皮克定理數出來。先數數形狀內部有幾個格子點,記為i;再數多邊形的邊上有幾個格子點,記為b。那麼三角形的面積A就會是:
A = i + b/2 - 1
我們降了一個維度,從種樹問題的來討論長度,讓大家對於皮克定里能有一個直觀的理解。每顆中間的樹,都代表著前後0.5的1單位長度,而兩顆邊界樹則代表向內的0.5單位長度。至於,明明皮克定理的「-1」,不妨從「點周圍的角度」的視角來看。以2x2的正方形來說,有1個內點和8個邊界點,其中邊界點又可區分為邊上的點和頂點。首先是內點,點周圍的360°都在正方形內,所以代表1單位。再來是邊上的點,點周圍的180°在正方形內,所以代表1/2單位。最後是頂點,點周圍的90°在正方形內,所以代表1/4單位。最後合計便會是4單位。
推廣到多邊形內角,我們知道多邊形內角和是:
(n-2) × 180° =180°×n - 360°
從剛剛360°代表一個單位,180°是半個單位。所以頂點所代表的單位是:
1/2×n-1
後面那個-1,就是推廣到平面後公式為
A = i + b/2 - 1
「-1」存在的原因啦。注意噢,此說法僅適用於外角和=360°的凸多邊形。而這畢竟這只是比較直觀的理解方式,嚴謹的證明則需要拿出「數學歸納法」,有興趣的人歡迎挑戰看看。下次和朋友聊到《進擊的巨人》裡的皮克小姐時,不妨和他們分享另一位數學家皮克所發現的「皮克定理」吧!
本篇文章與數感實驗室李瑞祥共同完成
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