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數感實驗室/阿諾爾德的數學題目(二)

數感實驗室。圖片來源/StockSnap.io
數感實驗室。圖片來源/StockSnap.io

上週我們介紹了一題出自於阿諾爾德的謎題集《給5歲到15歲小孩的問題》,本周我們再挑一題來跟大家分享。由於篇幅限制,答案很快就會出現在題目後面,因此如果想挑戰一下的朋友,請遮住題目以下的文字:

題目:美國標準考試中有一道題:「一直角三角形的斜邊為10英寸,而斜邊上的高是6英寸,請問面積是多少?」十多年來,美國學生已經成功解出答案30平方英寸,但莫斯科的同齡學生仍無法解出,請問為什麼?

再提供答案之前,我們先給一個關鍵字提示「外接圓」。

答案是,這個三角形根本不存在。我們可以從外接圓的角度來思考,一個直角三角形的外接圓,斜邊必然是直徑。你可以現在拿一張紙畫個圓與一條直徑,然後,在半圓上隨便畫一個點,將該點與直徑兩點連線,形成一個直角三角形,比方說,你可以畫一個邊長是(6,8,10)的直角三角形,根據面積是24,斜邊高的長度就是4.8。在半圓上選擇不同位置點下去,會有不同樣貌的直角三角形,斜邊高也會有所不一樣。你可以想像看看,當這個點很靠近直徑時,斜邊高一定很短,因此,最大值必然發生在等腰直角三角形,點距離直徑兩端點最遠,這時的三角形左右對稱,斜邊高從直徑的正中間,也就是圓心出發,拉到圓周上的一個點,長度自然就是半徑5。儘管已經是最長了,依然不到6。

有興趣的朋友也可以思考看看,還有沒有別的方法來證明這個三角形不存在,例如在數感實驗室的粉絲頁上,即有網友利用算數平均數大於等於幾何平均數的算幾不等式來證明。阿諾爾德透過這題想表達的,很多時候我們已經跟「題目」建立起了某種默契,看到題目就知道該怎麼反射性的解題,但其實這只是計算練習,而真正的數學,是充滿思考與討論的。

數感實驗室

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