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數感實驗室/動物森友會的數學(二):大頭菜與貝氏機率

遊戲《集合啦!動物森友會》。法新社
遊戲《集合啦!動物森友會》。法新社

上週我們介紹過動物森友會裡,有個投資工具大頭菜,它每周漲跌會有4種趨勢,符合馬可夫鏈,每周趨勢的分布都只跟上週趨勢有關係。當你知道上週是哪個趨勢時,就能知道本周「比較有可能」是哪個趨勢。

巴哈姆特網友更進一步分析,可以利用週日買價與周一上午的第一次賣價比值,簡稱R,得到更多本周趨勢的資訊。比方說,「波型」這個趨勢,只要從0~6選到0以外的數字,R都會落在0.9到1.4之間,假設均勻分布,7個數字選到6個數字的機率是6/7。四期型則會下跌,從8個亂數中選一個數字決定要跌幾個半天。不過若選到0,R就會回到0.9到1.4之間,8個數字選到1個數字的機率是1/8。另外兩種型態完全不會出現R在0.9到1.4之間的狀況。

換句話說,今天如果你看見R落在0.9到1.4時,你不僅能知道一定是四期型或是波型,還能更近一步利用貝氏定理。貝式定理告訴我們,觀察到一個事件後,我們就能利用這個事件去修正「先驗機率」,得到更精準的「後驗機率」。拿生病來說,原本一個病流行率是萬分之一,今天一個人去快篩呈現陽性,但那也不代表他生病,因為有可能是篩檢不準確。所以醫生會根據篩檢的正確率,去更新他生病的機率,可能變成了30%之類的。其中先驗機率可以根據以下的表格

動物森友會的數學(一):大頭菜與馬克夫鏈
動物森友會的數學(一):大頭菜與馬克夫鏈

根據上週機率,選擇對應的波型與四期型機率,再剛剛求出來的兩種形再給定R值後的條件機率

P(0.9≤R≤1.4│波型)=6/7

P(0.9≤R≤1.4│四期型)=1/8

你就能用求出後驗機率。根據我們求出來的結果,不論上週是哪個型,只要R是0.9到1.4,波形的機率都超過八成。若上週是四期型,本周是波形的機率高達95%。懂機率,是不是能幫你遊戲玩得更好呢。

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