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數感實驗室/可遇不可求 期望值為正的彩券

2019-05-27 13:58聯合報 賴以威(數感實驗室)

大福彩已走入歷史。圖/擷自Youtube
大福彩已走入歷史。圖/擷自Youtube
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你或許聽過有些國外有些人靠買樂透致富的新聞。他們之中有些是以訛傳訛,但有些卻是貨真價實。那些「真貨」,最主要靠的是某一種特殊的彩券機制,當這個機制發生時,彩券的期望值為正,也就是理論上買越多,你會賺越多。

這樣可遇不可求的機會,前陣子在台灣發生過一次,就是最後一期的大福彩

當時,彩券公司祭出超大優惠,倘若沒人中頭彩,那就把連續97期累積下來的獎金全部「分配到其他獎項」!在該期樂透開獎前,彩券公司一度預估普獎將可能從200元一口氣暴增到近4000元,普獎中獎機率是7.68%左右,扣掉成本,一張能進賺200多元,這還不算其他獎項的利潤。

消息傳開後,原本乏人問津的大福彩立刻成了熱門商品,最終該期一口氣賣掉了將近三百萬張,也因為購買的人很多,最終普獎獎金下修到1100元左右,雖然看起來低了一點,但還是比原本的200元多了五倍。

今天我們就來解釋一下,「增加幾倍」是怎麼算出來的。首先,假設每張大福彩,在不考慮頭彩的情況下,原本預期的回報是e,前一期累積了3億獎金,而這期賣出了s張。每張彩券對應有57s元,則(3億+57s)就是目前累計的獎金。既然原本只會發出e×s這麼多獎金,增加的倍率就是

(3億+57s)÷(e×s)

套用當時彩券公司提供的模擬數據,不考慮頭彩的回報e約是30元,則

(3億+57s)÷(e×s)=(1000萬÷s+1.9)

當s等於60萬時,這個倍率是18.5倍,即是一開始近四千元的估算;最後s逼近300萬,套用上面公式得到的倍率是5倍左右,跟真實狀況相當接近。

不過,雖然期望值是正的,但不表示你買樂透就一定會賺錢,你可以想像一下,假設你只買一張,最容易中的普獎也只有7.7%左右,非常有可能這張就是有去無回。換句話說,期望值高是建立在好幾張彩券,大部分都小輸100元,只有1張中獎,就能翻盤。你必須要買到夠多張,才能讓機率站在你這邊。這也是你會看到國外的樂透富翁通常得集資的原因。不只因為他們想贏得多,而是因為他們認真算過數學。

下次倘若再出現期望值為正的樂透,可千萬不要錯過了。

彩券樂透大福彩

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