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長期買彩券到底是虧是賺 能中大獎嗎?

2019-05-12 14:12聯合新聞網 文章提供/時報文化

許多人在茶餘飯後喜歡買張彩券,五十元一注,中獎當然好,中不了哈哈一笑就算了。也有人把買彩券當成了一份事業,花許多時間研究彩券,又花許多錢買彩券。彩券的走勢真的有規律可循嗎?長期買彩券到底是虧是賺?

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一、排列三

我們先來研究一個簡單的彩券玩法:排列三,也叫做3D球。

這種彩票的基本玩法是:二元人民幣一注,從000~999選擇一個數(三位),開獎時開出一個號碼(三位),若下注的三位數和開獎的三位元數數位和順序都相同即可中獎,否則沒中獎。例如下注時選擇052,開獎時第一顆球是0,第二顆球是5,第三顆球是2,即可中獎。如果中獎,獎金為1040元。

我們不妨從數學上計算一下中獎機率,再計算一下期望值。

已知開獎時每個球都有十種可能,三個球開出三個號碼,排列起來一共有一千種可能,也就對應著下注時000~999這一千個數字。由於每顆球開出的數字都是隨機的,每種可能性機率都相等,所以這依然是一個古典概型。

中獎包含多少種可能呢?因為只有一個中獎號碼,因此中獎只有一種可能。

這樣一來,

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中獎得1040元,機率為;沒中獎得0元,

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所以玩一次返還的彩金期望值是:

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也就是說,花二元下注,平均可以拿回1.04元,虧0.96元。

你給我2元,我給你1.04元,要不要?不要! 你給我2元,我有的可能給你1040...
你給我2元,我給你1.04元,要不要?不要! 你給我2元,我有的可能給你1040元,你要不要?要!
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二、組選六

排列三還有另一種玩法稱為組選六,意思是說:開獎時的三個數位與下注的三個數位相同即可中獎,不限次序。例如開獎是052,下注時選擇052、025、520、502、250、205皆可中獎,中獎獎金為173元。那麼這種玩法的返獎期望值又是多大呢?

已知開獎結果依然是一千種可能,每種可能性機率都相同,同樣是古典概型。中獎時只要三個數位相同,而順序可以隨意調換。這就涉及一個概念:排列數。將N個物體按照一定的順序進行排列,請問共有多少種排列方法呢?

例如把籃球、足球、排球放在有順序的三個盒子裡,首先研究第一個盒子,可以任意放一顆球,所以有三種方法;在第一個盒子放好球之後,第二個盒子就只有二種球可以選擇,所以有兩種方法;前兩個盒子放好後,只剩下一個盒子和1種球,因此最後一個盒子只有一種放球的方法。所以三顆球放進三個盒子的方法數為3×2×1=6種。我們稱3 的全排列等於6。

同樣,如果有N顆球,放進有順序的N個盒子裡,稱為「N 的全排列」,公式為:

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我們下注一個三位號碼後,可以隨意調換順序,所以需要把這三個數位全排列,無論這三個數字是什麼,都有六種排列方法,這樣中獎的可能就從一種變為六種。

如此一來,中獎的機率就變成:

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中獎得173元,

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沒中獎得0元,

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返獎期望值為:

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也就是說,平均下注一次組選六,可以拿回1.038元,相較於直選玩法還少0.002元。

莊家 不管你選哪種玩法,反正都是我贏。
莊家 不管你選哪種玩法,反正都是我贏。
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三、雙色球

相較於排列三,還有一種更讓人熱血沸騰的彩券玩法:雙色球。

雙色球有一~三十三共三十三顆紅球,還有一~十六共十六顆藍球。二元下注,在紅球中選六顆,藍球中選一顆。開獎時開出六顆紅球和一顆藍球,如果開出的紅球與下注完全相同(不計順序),藍球也與下注相同(不計順序),即可中大獎五百萬!

二元中五百萬!簡直逆天了!
二元中五百萬!簡直逆天了!
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數學會告訴我們什麼呢?為了研究這個問題,我們首先需要了解一個概念: 組合數。

從N個不同的數位中選擇M個,不計次序,一共有多少種選擇呢?

例如從1、2、3、4、5、6六個數字中選三個,但是不計次序。我們可以按照下面的方法:

首先選一個數字,有六種選擇方法。

從餘下的數字中再選一個,有六種方法。

從餘下的數字中再選一個,有四種方法。

所以一共的方法個數是:6×5×4=120種選擇。

但如果選擇的數字是a、b、c三個,按照剛才的演算法,在一百二十種可能中,abc、acb、bca、bac、cab、cba算做了不同的情況。按照不計次序的規則,這六種情況應該算做一種。於是我們必須將120除以6,才能得到不計次序的選擇方式個數:二十種。這裡除掉的6其實就是3的全排列。

同理,從N個數位中選擇M個數位,首先從N開始乘,乘N-1,乘N-2……一共乘M個數字,得到計次序時的結果;接著再除以M的全排列,得到不計次序的結果。公式寫做:

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明白了這個演算法,我們就可以計算雙色球中大獎的機率了。

首先計算開獎結果一共有多少種可能。從三十三顆紅球中選六顆,可能的結果有:

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從十六顆藍色球中選一顆,顯然有十六種可能結果。

所以開獎結果一共的可能數為1107568×16=17721088。

也就是說,雙色球的開獎結果大約有一千七百萬種可能,而且每一種開獎結果的可能性都是相同的。如果我們花二元錢買一注,只能買一種可能,因此中獎的機率為大約一千七百萬分之一。

我們來計算一下數學期望值,中大獎能拿到五百萬,扣掉20%的稅,還剩下四百萬,於是數學期望值為:

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圖/時報出版提供
圖/時報出版提供
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也就是說,如果只奔著大獎去,平均買一注彩票,只能拿回0.235元。

當然,雙色球還有二~六等獎,每一種獎的獎金和對應機率都不同,尤其是一等獎和二等獎,採用浮動獎金制度,計算起來更加煩瑣。根據中國福利彩票發行管理中心公布的中獎規則,雙色球返獎率大約為50%,也就是說,花二元錢下注,大獎、小獎全算上,統計上講,平均可以拿回一元,而另一元就是給福利事業做貢獻了。

【本文節錄自《跟著網紅老師玩科學》,時報文化出版,李永樂/著,未經同意禁止轉載。】

彩券

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