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使用機率論對賭博分析 數學家能在賭場中贏錢嗎?

你們玩的是賭博,數學家玩的是機率論。
你們玩的是賭博,數學家玩的是機率論。

我們經常聽到這樣的故事:一個數學家進了賭場,透過自己的專業能力贏了一大筆錢,那麼現實生活中這樣的事情可能發生嗎?

十七世紀荷蘭數學家、物理學家和天文學家惠更斯最早研究了賭場中的數學問題。他的著作《論賭博中的計算》使用機率論對賭博的結果進行分析,被認為是機率論的開端。

一、百家樂

在賭場中,有些賭博遊戲需要技術含量,但是更多是全憑機率和運氣的遊戲。例如常見的賭場遊戲:百家樂。這是一種發撲克牌比大小的遊戲, 荷官會將八副牌混合在一起,發給莊家和閒家各二~三張牌。下注後開牌,莊家和閒家各自手中牌的點數相加,尾數大的贏。

這個遊戲顯然有三種可能:莊大、閒大和平局。玩家如果下注莊大或閒大,獲勝後都會獲得下注彩金等額的獎金(一賠一);若下注平,會獲得下注彩金九倍的獎金(一賠九)。那麼哪一種下注方法更容易賺錢呢?

這個問題比較複雜,我們簡化為一個更加簡單的骰子遊戲。

你問公不公平我不知道,但我可以算一算。
你問公不公平我不知道,但我可以算一算。

遊戲規則如下:

1.兩個不透明的罐子分別屬於莊家和閒家,裡面各有一個骰子,每個骰子有一~六點。

2.搖晃後玩家下注,押莊大、閒大、平。

3.打開罐子比較,如果押大、小獲勝,一賠一,如果押平獲勝,一賠五。

請問這個規則是否公平?

二、古典概型

解決這個問題,需要採用古典概型,就是一個過程共有N種可能的結果,而且每種結果發生的可能性相同。其中,事件A包含M種可能,那麼事件A的機率就等於

例如,一個班級裡有五十名同學,二十名男生,三十名女生,如果隨機抽取一個人,那麼就有五十種可能的結果。「抽到男生」這個事件包含二十種可能的結果,因此抽到男生的概率就是

在這個遊戲中,兩個骰子都有六種可能的結果,因此兩個骰子的組合有N=36種可能的結果:

莊家點數 閒家點數 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 平 閒大 莊大
莊家點數 閒家點數 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 平 閒大 莊大

如果兩個骰子的點數相同,就有1~1、2~2、……、6~6共計 M=6種可能,因此出現平局的機率為:

也就是說,如果押平

三、數學期望

假設以一元下注,按照賠率,贏了就拿走六元,輸了就不拿錢,平均能獲得多少錢呢?

我們用輸贏兩種情況下的收益乘以相應的機率再相加,就可以計算出一個平均值。這個值在數學上稱為「期望值」,意思就是從統計意義上講,每一次遊戲結束後,平均可以拿回來的錢。

這說明:平均來講,每局遊戲以一元下注,平均可以拿走一元。即如果一直押平,而莊家不出千,那麼機率上講玩家是不賠、不賺的。

我們再來看押大小。從剛才的表格中可以看出,莊大和閒大都包含十五種可能,因此按照古典概型,任何一邊大的機率都是:

也就是說,押兩邊任何一邊大,贏的機率都是5/12,輸的機率是7/12,還是假設以一元下注,那麼押兩邊任何一邊大,贏了都拿走二元,輸了不拿錢,最後獲得的數學期望值都是:

我們會發現:押一元給任何一邊大,統計意義上都會拿回元,也就是說,平均會賠1/6元,是不划算的。

圖/時報出版提供
圖/時報出版提供

四、能利用數學賺錢嗎?

也許有同學據此分析,只要一直押平就可以不賠錢了。但是以上分析完全是建立在賭場不出千,純憑機率的基礎上。如果賭場出千,無論採取什麼策略,玩家都必輸無疑。

還有的同學會說,既然我知道各種情況下的機率,那我可以透過觀察來提高自己的勝率。例如平局的機率是1/6,莊大的機率是5/12,如果連續二次開出平局,又連續開出五次莊大,那麼接下來的五次就一定是閒大了。

【本文節錄自《跟著網紅老師玩科學》,時報文化出版,李永樂/著,未經同意禁止轉載。】

賭博 賭場 荷蘭

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