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數感實驗室/很多隻猴子勝過一位莎士比亞?

數感實驗室。圖片來源/StockSnap.io
數感實驗室。圖片來源/StockSnap.io

前陣子台北的高三模擬考,國文科考卷有一篇關於機率的文章,具體來說,關於「無限猴子定理」的閱讀題組。文章比較簡短,我們不如來看看美國數學家馬祖爾(J. Mazur)的介紹。馬祖爾在著作《是湊巧還是機率?:巧合背後的數學與迷思》第八章〈猴子居然能敲出一部莎士比亞〉中提到,無限猴子問題最早出現於1913年,法國數學家博雷爾(E. Borel)在〈統計機制與不可逆性(Mècanique Statistique et Irrèversibilitè)〉的文章。當時博雷爾說:只要給定足夠長的時間, 1隻猴子在鍵盤上隨便亂按,也能打出莎士比亞全集。當然,足夠長的時間是「無限長」的時間,猴子只是一個譬喻,任何一隻能敲打鍵盤的動物都可以。你喜歡的話,放隻章魚多幾隻腳也沒關係。

猴子真的這麼厲害嗎?我們沒有無限長的時間(許多人家裡更沒有養猴子)來檢驗,不過我們能用數學來驗證看看。和所有數學問題一樣,馬祖爾建議我們先化簡問題。比方說,如果是一組0到9的鍵盤,猴子按下每個鍵的機率一樣大(實際上不一定,可能中間的鍵會被按下較多次),每次敲擊鍵盤都是獨立事件。那麼,現在我們先請猴子敲出圓周率的第一位數字3,他敲對的機率是1/10,連續正確敲出圓周率前六位3.14159的機率是百萬分之一,非常之低。

再請猴子挑戰一句詩

「shall I compare thee to a summer’s day(我怎能將夏日與你比擬)」

假設鍵盤是26個字母,而且只能敲出小寫,則猴子能夠敲出第一個字母shall的第一個字s,機率是1/26。接下來依序敲出h、a、l、l,每次的機率同樣是1/26,光是要正確按出shall這個單字,成功機率就只比千萬分之一還低(1/11,881,376)。

乍看之下不太可能,偏偏這隻猴子吃了長生不老藥,有無限多時間可以打字,這樣的話,我們得把問題反過來看,假設猴子連續按5下後失敗的機率是(1-1/11,881,376)。讓猴子喘一口氣,再按5下,依然失敗的機率就是1扣掉連續兩次都失敗,1-(1/11,881,376的平方)。連續N次失敗的機率是1-(1/11,881,376的N次方)。數學課本告訴我們,小於1的數字無限大次方後趨近於0。所以只要給猴子夠多時間,他就能有一定的機率打出shall。當N=8235542時,猴子有超過50%的機率能打出來。

2004年,科學家用電腦模擬證明了這件事,他讓一隻虛擬猴子在經過42162500000 乘以1018年後,終於打出莎士比亞作品《維洛那二紳士(The Two Gentlemen of Verona)》的第一行:VALENTINE: Cease to……

想看完整部作品嗎?再給這隻猴子很多很多的時間吧。

猴子 莎士比亞 數感實驗室

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