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數感實驗室/領帶數學(下)85種領帶打法

2017-08-14 07:20賴以威(數感實驗室)

領帶打法十分多種。圖/ingimage
領帶打法十分多種。圖/ingimage
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繼續來講領帶的數學。2001年出版的《85種打領帶的方法(The 85 Ways to Tie a Tie)》,將打領帶的步驟用數學語言來描述。分成左、右、中3個方向;「進去」或「出來」2種前後模式,一共有6種動作:

左出(Lo)、左進(Li)、中出(Co)、中進(Ci)、右出(Ro)、右進(Ri)。

打領帶就是這6種動作的排列組合。

在9步以內可以完成的領帶打法共有85種。到底是怎麼算出來的呢?

首先我們可以知道,假如領帶都是從左邊開始,第n步可能結束在右、中、左。令Fr(n)是「第n步結束在右側的各種打法數目」,Fc(n)與Fl(n)各自是第n步結束在中(左)側的各種打法數目,可以得到

Fr(n)+Fc(n)+Fl(n)=2n-1

因為第一步固定從左邊開始,第二步以後,每一步不能跟前一步同一個方向(只剩2個方向),進去或出來一定是交替(因此前面進後面一定是出,只剩一種選擇)。6種動作實際上只剩2種動作。所以n步會有2的(n-1)次方

其次,第(n+2)步結束在左邊的,第n+1步時一定在右邊或是中間,因此可以寫出

Fl(n+2)=Fr(n+1)+Fc(n+1)

再進一步回推到第n步,可以得到

Fl(n+2)=Fr(n+1)+Fc(n+1)=Fc(n)+2Fl(n)+Fr(n)

將Fr(n)+Fc(n)+Fl(n)=2n-1帶入,我們可以得到

Fl(n+2)= Fl(n)+2n-1

重要結果出現了,等號兩邊都只剩下Fl這個函數,只是一個是Fl(n+2),一個是Fl(n)。數學上這稱為遞迴表示法,最常聽到的是費波那契數列這個例子:1,1,2,3,5,8,13……每一項都是前兩項的總和。遞迴表示法只要有前幾項的資訊,就能輕易算出後面幾項。領帶打法也是這樣,只要找出1步、2步、3步這種簡單步數下能打出幾種領帶,後面複雜的打法就可以直接套公式計算。K(h)是h個步驟下有幾種打領帶的方式。

K(h)=Fr(h-2)+Fl(h-2)=(2h-2-(-1)h-2)/3

其中,h-2的原因是要扣掉第一步是從左邊出發,以及扣掉最後一步通常在中間結束。當然,有很多打法是「可以打但不好看」,書中更進一步分析不好看的領帶是因為包含了哪些步驟。最後總結起來只剩下13種打法。如果你有興趣的話,不妨挑戰看看複雜9步打法

Lo Ci Ro Ci Lo Ci Ro Li Co T

這稱之為巴爾薩斯結打法。

數學

賴以威(數感實驗室)

數學不僅是抽象運算,還跟現實生活緊密結合。數感(numeracy)泛指「對數學的直覺理解能力」。數感的培養不僅限於學校教育,必須在日常生活就養成將「數字」納入思考範圍的習慣。更多內容請上數感實驗室 Numeracy Lab

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