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數感實驗室/音樂是數學的感性? 畢達哥拉斯的吸管排笛

數學家西爾維斯特曾說過「難道不能形容音樂是數學的感性,而數學是音樂的理性?」

今天我們來介紹一個活動,讓大家看到數學與音樂的一體兩面。相傳,畢達哥拉斯觀察到,如果兩條鐵片長度是2:3,它們敲奏出來的聲音就很和諧悅耳。舉例來說,假設鐵片長度90公分,則與它和諧的高音鐵片就該是60公分。如果想找更高音的合諧音階,該用再短2/3倍的40公分鐵片。但是畢達哥拉斯又發現,如果長度是一半的鐵片,就是同一個音的高八度,比方說是Do跟高音Do的關係。所以呢,90公分如果是Do,敲奏出高音Do的鐵片就是45公分。40公分已經跑到了高八度的另一組音域。

該怎麼降回同一個音域呢?其實很簡單,既然短一半是跑到高八度,那增加一倍就回到了低八度。因此我們可以把剛剛的40公分鐵片增加到80公分。就可以在原來的音域中找到一個適合的音階了。套用這樣的邏輯,我們就來做吸管排笛吧。

要做一組八個音階的排笛,得先找8根長度相同的吸管,這個長度就是我們的Do。接著,挑一根剪短一半,這是高音Do。假如吸管原本長18公分,Do跟高音Do就分別是18公分與9公分。接下來,再剪一根吸管長度是18公分的2/3,12公分。下一根吸管原本應該是12公分的2/3,也就是18公分的4/9,但這比4/9 < 1/2,因此要再把它增加兩倍,變成是18公分的8/9,答案是16公分。下一根,則是16公分的2/3,約是10.7公分,也就是18公分的16/27。再下一根原本應該是10.7的2/3,可是這樣變得太短,得再放大兩倍,變成10.7的4/3。

總結來說,跟原來長度的比例依序是8/9、64/81、512/729、2/3、16/27、128/243、1/2,就是一組八個音階的音域。當然,這個方法只是近似,也與現在的音階算法不同所以不是完全精準。不過,我們有在數感實驗室的官方youtube頻道中實際做了一個排笛,邀請音樂家來吹奏,真的能得到一首很悅耳的歌曲噢。歡迎上網搜尋,欣賞這則影片,更了解數學跟音樂的關聯性吧。

吸管 數感實驗室

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