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數感實驗室/e=2.71… 為什麼會有「歐拉數」?

數感實驗室。圖片來源/StockSnap.io
數感實驗室。圖片來源/StockSnap.io

從小到大幾乎每一位數學老師都會告訴你「數學是一門理解、思考的學問」,好像真的是這樣吧,儘管考試還是得用到公式,但班上總是有些人得意洋洋的說他幾乎沒背公式,都是考試時當場推導。撇開有一些是吹牛不提,數學,好像真的是一門能說得出理由的學問,除了某些奇怪的常數,比方說,e=2.71….這個「歐拉數」。

其實歐拉數也有理由,今天就讓我們來說說看。

數學界裡有一些名氣響亮的常數,例如圓周率,它很好理解,是圓周長除以直徑的結果。可歐拉數又是什麼呢?第一次接觸到歐拉數的人大多是伴隨著「複利」這個生活例子:存一筆錢到銀行,一年後會翻兩倍。如果改成半年計算利息一次,且利息可以做為下半年的本金一起算利息,則每半年利息要除以2,變成50%,本利和變成1.5×1.5=2.25。如果一季算一次,利息除以4,變成25%,本利和變成1.25×1.25×1.25×1.25,約是2.44。一直分割下去,直到變成每一瞬間都在算利息,你就會得到一年後2.71…也就是歐拉數e這麼多錢。

或許是高中時的我沒有做投資(現在依然沒有),對複利沒有太深刻的感受。我真正認識e是成為教授,上課教微分方程,計算人口成長模型的時候。我們都同意,人口成長的速率,跟此刻的人口總數有關係,畢竟,人越多,生的小孩就越多。這道理很基本。假設人口在時間t的總數為S(t),人口成長的速率就是dS(t)/dt,總人口對時間的微分,這項微分與總人口數S(t)成整比,用數學式子來寫就是

dS(t)/dt = k×S(t)

其中k是一個常數,代表成正比。這個式子不難理解。運用一些積分技巧解題後,你會得到

S(t)=Cekt

頓時出現了歐拉數e。原來歐拉數是在還原一項微分方程時,自然而然會跑出來的結果!當你有一項數值,它的成長速率跟此刻的總數有關(每分每秒的複利不也就是這個狀況嗎),你可以用微分方程很清楚的表示這個概念,消去微分,歐拉數就跑出來了。

自然界很多事物的成長都依循這個規則,這就是為什麼我們會這麼重視歐拉數的原因。現在,有稍微多認識它一點了嗎?

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