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數感實驗室/面積一半的正方形 怎麼摺?

數感實驗室。圖片來源/StockSnap.io
數感實驗室。圖片來源/StockSnap.io

來摺紙吧!請找一張正方形的紙,幫我摺出一個面積是原本四分之一的正方形。很多人可能聽到這邊已經翻白眼了,這根本不需要拿紙,腦海裡靠想像就能摺完了。請別著急,這只是熱身活動。現在,請幫我把紙攤開來,重新摺一個面積是原本二分之一的正方形。

你摺出來了嗎?

這題比前一題稍微難一點,不過或許還是沒花上你多少時間。只要把紙的4個角網中心摺,即可摺出面積是二分之一的正方形。現在要進入真正的難題了:請幫我再攤開紙,重新摺一個面積是二分之一的正方形。這次,摺法不能跟先前的方法一樣。

你想出來了嗎?第一種摺法很快就能憑直覺找出來,因為當四個角往內摺,每個角剛好會形成兩個重疊的三角形。新摺出來的形狀,恰恰好是「2片疊在一起的正方形」,面積就是原來的二分之一。

我們很難再找到這麼巧妙的摺法,不過可以運用數學思考,把「面積是原來二分之一的正方形」轉換成「邊長是原來根號二分之一的正方形」。乍看之下轉換後,問題變得更困難,因為你很難摺出根號二分之一,它是無理數,對折、三等分這些技巧都不管用。不過,如果你熟悉正方形的特質,就會想起對角線跟邊長的比例,剛好是根號二。如此一來,假設原來紙的邊長是1,對角線是2,面積變成一半的正方形邊長是根號二分之一,對角線恰好又會變回1,等於原來紙的邊長。

換句話說,你可以先摺出一條對角線,再把一條邊摺到與對角線貼齊,你就得到了「長度1的對角線」。以這條新對角線為基礎,就能摺出一個面積是二分之一的正方形了。面對這樣的問題,我們通常都會先「試試看」,這邊摺一摺,那邊摺一摺。不過聽完解釋後,你必然也會同意,運用數感切換看問題的角度,是比起嘗試錯誤,要更有系統,更有效率的解法。

其實呢,還有第三種、第四種摺法,現在輪到您發揮數感,挑戰看看囉。

數感實驗室

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