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輕颱白鹿進逼 清晨5:30發布海警 暴風圈估明上午觸陸

數感實驗室/正四面體風箏(下)

2018-11-25 15:23聯合報 賴以威(數感實驗室)

風箏。 記者胡蓬生/攝影
風箏。 記者胡蓬生/攝影
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上週我們介紹大型正四面體風箏有兩種堆疊方式。第一種是用4個組成一個「較大」的正四面體,再用4個較大的正四面體組成另一個「更大」的正四面體,依此類推。這個方法可以做出邊長是2的次方的正四面體風箏。另一種方法是一層層往下做,最上層是1個小正四面體,第二層有3個正四面體,第三層有6個正四面體,如此就能做出一個邊長3的正四面體風箏。繼續往下,能做出任意大小的立體風箏。

然而,比較同樣是邊長4的正四面體風箏,第一種方法用了16個,第二種方法用了20個,多出來的4個,到底在哪裡呢?由於這兩種方法的最上面兩層都一模一樣,因此我們來看第三層與第四層的狀況,分別用綠色和藍色來表示。

第一種方法的第三層與第四層剛好是4個「較大」正四面體,所以第三層只有3個(邊長1)的正四面體,第四層有9個正四面體。相較之下,第二種方法的第三層與第四層呈現鋪滿的狀態,各自有6和10個正四面體。第三層多了3個,第四層多了1個,這就是造成兩種堆疊方式所用正四面體個數不同的關鍵。從這裡我們能發現,第一種堆疊方法中間的空隙較多,第二種方法比較密集。不同的堆疊方法,原來有這樣的差異。

最後,我們來思考用第二種堆疊方法做出邊長為N的大正四面體,總共需要幾個小正四面體。首先來看,每新增加一層,需要的正四面體數目依序是1、3、6、10、15。看起來好像沒有太多規則,但如果畫圖會發現,每次剛好多出一排,而排與排之間的正四面體數目剛好差1。換句話說,1、3=1+2、6=1+2+3、10=1+2+3+4、15=1+2+3+4+5,形成了等比級數。所以我們知道第n層需要n×(n+1)/2個正四面體。邊長N的大正四面體風箏需要把第一層到第N層的個數加起來,又用到一次等差級數跟平方和級數的公式,答案是N×(N+1)×(N+2)/6。

你看見了嗎?在學校覺得好像派不上用場的的等差級數與平方和級數,在這邊實際發揮了作用。

比較同樣是邊長4的正四面體風箏,第一種方法用了16個,第二種方法用了20個,多出...
比較同樣是邊長4的正四面體風箏,第一種方法用了16個,第二種方法用了20個,多出來的4個,到底在哪裡呢?由於這兩種方法的最上面兩層都一模一樣,因此我們來看第三層與第四層的狀況,分別用綠色和藍色來表示。
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