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數感實驗室/從玩積木看公式

2018-08-05 10:20賴以威(數感實驗室)

圖片來源/ingimage
圖片來源/ingimage
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最近在設計給小朋友的數學活動,知識點是展開圖與立體。我隨手拿了許多個樂高,拼出一個空心的正立方體,每條邊各4個積木。作完後數學症頭發作,自己好奇起一個問題:

我剛剛用了幾顆積木?

一般人聽到這個問題有兩種反應。第一種覺得無聊,做完了幹嘛還要知道這個;第二種反應是開始數。但倘若我們把問題稍微轉個彎:

要作每條邊各5個積木的正立方體,我需要幾個積木?

這問題是有意義的,因為你不想組到一半發現積木不夠。此外,你閉著眼睛能想像出一個邊長為5的正立方體積木,然後開始數,但你很快會覺得不好數,不如稍微算一下。

首先,答案絕對不是5×5×6=150,因為1顆積木是立體的,每條邊都有很多顆積木是共用的。如果你數學反應夠快,你會知道「剩下的積木夠不夠」這個問題,可以先看看有沒有超過150顆,如果有就表示一定夠,畢竟實際用到少於150顆積木。

我的算法是這樣,把正六面體分成3組對面。上下2片依然各用25顆積木,左右2面則是(5-2)×5=15,扣2的原因是上下兩面各會吃掉左右2面的一條。最後,前後2面用到(5-2)×(5-2)=9,因為前後兩面的上下左右都各會被吃掉1條。總共用到的積木數是

2×(25+15+9)=98顆

更有邏輯的想法是,原本用150顆積木,但每條邊都會重複,總共有12條邊,所以扣掉12×5=60,但每個頂點跟3條邊交會,被多扣1次得補回來,所以要在補上8個頂點,答案就是

150-60+8=98顆

這個積木數學還能玩下去嗎?當然可以。數學家最後好奇的一個問題就是,如果我今天想排邊長是N的正立方體,我得需要幾塊積木,這個動作稱為推廣。我們直接將5塊積木的例子推廣下去得到

2×(N×N+N×(N-2)+(N-2)×(N-2) )

再整理一下你會得到

6N2-12N+8

這個式子非常有趣,第一項是6塊平面所用的積木,扣掉第二項的12條邊用到的積木數,再補上第三條的8個積木頂點。恰恰好是第二種算法的推廣結果。到此,不知道你有沒有感受到數學的奇妙,以前課本背的正立方體面、邊長、頂點數目,完全與一個現實情境,以及一道式子重疊了。

樂高數感實驗室數學

賴以威(數感實驗室)

數學不僅是抽象運算,還跟現實生活緊密結合。數感(numeracy)泛指「對數學的直覺理解能力」。數感的培養不僅限於學校教育,必須在日常生活就養成將「數字」納入思考範圍的習慣。更多內容請上數感實驗室 Numeracy Lab

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