數學不數學!武俠小說教你用牙籤,變身神算子!

書名:《誰說不能從武俠學數學》
作者:李開周
出版社:時報文化出版
出版時間:2020年10月8日
書名:《誰說不能從武俠學數學》
作者:李開周
出版社:時報文化出版
出版時間:2020年10月8日

「數學不是數字的科技,是生活的科技」,美國數學家Keith Devlin這麼說。過往求學的過程中,不少人總是在質疑「數學有什麼用」,其實,數學不只是科技應用的計算工具,更是人類思考邏輯訓練的過程,它並非顯而易見,可是在生活中無所不在。

李開周的《誰說不能從武俠學數學》打破數學的框架,不再只是考場上的科目,透過「武俠小說」的片段,帶大家走進不一樣的數學世界!(編按)

文/李開周

抓一把牙籤,你就是神算子

梁山好漢「神算子」蔣敬手持算盤 的剪紙肖像。 (圖/時報出版提供)
梁山好漢「神算子」蔣敬手持算盤 的剪紙肖像。 (圖/時報出版提供)

遙想當年,祖沖之推算圓周率時,劉徽推算太陽高度時,一行禪師推算子午線長度時,算盤還沒有發明出來,他們只能用算籌做計算。

算籌能做乘法嗎?當然能。還是623×47,前面用算盤算過,現在再用算籌算一回。手邊沒有算籌,可以用筷子代替。要是嫌筷子太長,抓一把牙籤也一樣能算。

先用牙籤把這兩個數字擺出來,623 在右上,47 在左下, 47 的個位 7 與 623 的百位 6 對齊,當中留出一片空地,用來存放乘積。

右上為623,左下為47 (圖/時報出版提供)
右上為623,左下為47 (圖/時報出版提供)

第一步,讓623 的百位6乘47,得282(實際是28200)。將282 擺在中間空地上,並將623 的6 去掉,表示這個數位上的數已經乘過,不能再用了。

第二步,讓623 的十位2 乘47,得94(實際是940)。將94 擺在282 右下方,讓94 的最高位9 與282 的個位2 對齊,並將623 的2 去掉。

第三步,讓623 的個位3 乘47,得141。將141 擺在94 右下方,讓141 的最高位1 與 94 的 9 對齊,並將623 的 3 和47 統統去掉。

第四步,將錯位對齊的282、94 和141 加起來,在最下面擺出得數:29281。

623×47 的籌算結果 (圖/時報出版提供)
623×47 的籌算結果 (圖/時報出版提供)

用算盤計算時,我們是將47 依序乘以623 的個位、十位和百位,每得到新的乘積,就與前一步的乘積錯位相加,隨乘隨加,邊乘邊加。用算籌計算,則是將623 的百位、十位和個位依序去乘47,將每一步乘積都擺出來,最後再錯位相加,加和就是正確的乘積結果。現代小朋友列豎式做筆算,是將623 和47 按照數位上下對齊,先用47 的個位7 乘以623,得到4367,再用47 的十位4 乘以623,得到2492,最後將2492 和4367 錯位相加。

珠算、籌算、筆算,三種演算法的計算順序有所不同, 但基本思想完全一致,都要將不同數位依序相乘,把乘積錯位相加。

比較起來,筆算需要的工具最簡單,一張紙、一支筆即可。哪怕沒有紙筆,折一根樹枝,在泥土地上也能列豎式。珠算必須有一把算盤,籌算必須有一捆算籌(或者牙籤、筷子、火柴棒),都沒有紙筆簡省輕便。

如果對比計算速度,珠算會比籌算快得多,也比筆算快。過去很多農民不識字,卻能把算盤口訣背得滾瓜爛熟, 打起算盤有如神助,算盤珠劈里啪啦,手上不停,嘴裡報數, 疾風驟雨,電閃雷鳴,彷彿高手過招,只能用「說時遲,那時快」來形容。

好在我們有計算機和電腦幫忙,不必再學珠算,更不必學習籌算。但是,學多位數乘法的小朋友如果行有餘力,不妨也接觸珠算或籌算,如此觸類旁通,可以加深對豎式計算法則的理解。

再者說,學會了籌算,週末和爸爸、媽媽參加飯局,順手抓一把牙籤,像變魔術一樣,表演多位數相乘,再一臉淡定地告訴大家:「當年祖沖之就是這樣推算圓周率的。」那會很酷,讓爸爸、媽媽顏面有光,倍有面子,是不是?

只會乘法還不夠酷,應該再學學籌算的除法。還是同一把牙籤,我們來算一個簡單的題目,368÷4。

368÷4 的籌算布局 (圖/時報出版提供)
368÷4 的籌算布局 (圖/時報出版提供)

在《九章算術》、《孫子算經》、《數書九章》等數學典籍裡,被除數叫做「實」,除數叫做「法」(如果做乘法運算,則被乘數為實,乘數為法)。 368÷4,368 就是實,4 就是法。

籌算除法, 要找一片空地,將法擺在最下一行,實擺在中間一行,實的最高位(這裡是3)對齊法的最高位(這裡是4),最上面則擺商。

第一步,用368 的最高位對4 試除,3 除以4,不夠除, 將商右移一位,用36 除以4, 得9;第二步,將9 擺在368 的上面,與6 上下對齊,然後將368 裡的36 撤去;第三步,中行之實只剩8,8 再除以4,得2 ;第四步,將 2 擺在 9 的後面、8 的上面,與8 上下對齊,然後將中行的8 也撤去;第五步,觀察整個布局,中行之實已全部撤去,說明可以除盡, 沒有餘數,最上面那一行的92 就是368 除以4 的商。

368÷4 的籌算結果 (圖/時報出版提供)
368÷4 的籌算結果 (圖/時報出版提供)

如果碰到除不盡的數呢?例如418÷5,還是將418 這個實擺於中行,5 這個法擺於下行,讓實的最高位4 和法的最高位5 上下對齊。

418÷5 的籌算結果 (圖/時報出版提供)
418÷5 的籌算結果 (圖/時報出版提供)

第一步, 4 除以 5 ,不夠除,將商右移一位,用 41 除以 5 。估商為 8 ,五八四十, 41 減40,餘1;第二步,將第一步所估之商 8 擺在 418 上面,讓 8 與 1 上下對齊,然後撤去 418 的 4;第三步,中行之實變成了18,18 除以5,估商為3,三五十五,18 減15,餘3;第四步,將第二步所估之商3 擺在18 上面,讓3 與8 上下對齊,然後撤去18,將餘數3 擺在中行;第五步,觀察整個布局,上行之商為83,中行之實剩3,說明418 除以5,商是83,餘數是3。

●本文摘自 時報出版 出版之《誰說不能從武俠學數學》


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