數感實驗室／新課綱數學素養強調的能力 在數學世界裡活用數學

√2≈1.41、√3≈1.73

所以√2+√3 ≈ 1.41+1.73 = 3.14……修但幾咧，這不是圓周率嗎？換句話說，√2+√3 ≈ π？大哲學家卡爾·波普爾認為，是柏拉圖發明了這條件似式，柏拉圖甚至認為這不只是近似，而是√2+√3根本就是圓周率！柏拉圖怎麼想到要用兩個無理數湊出另一個無理數，是外星人在耳邊低語嗎？當然不是，從數字的角度來看的確很不容易解釋，但用幾何觀點就一目了然。

想像一個半徑為1的單位圓和它的外切正六邊形、內接正八邊形。我們來算一下，正六邊形可以看成是6個正三角形組成，每個正三角形的高相當於半徑1，帶入面積公式得到面積為1/√3。正六邊形的面積是6倍，整理後得到是2√3。

類似的算法可以得到，正八邊形的面積是2√2。換句話說，以面積來看，正八邊形<圓形<正六邊形。既然一個比較小，一個比較大，摻在一起(平均)，面積不就跟圓差不多了嗎？

這就是√2和√3相加後會近似圓周率的原因。

「活用數學」是新課綱數學素養中非常強調的能力，多數時候我們想到的都是將生活跟數學結合，用數學解決生活情境問題。的確是活用沒錯，可活用不僅限於這樣。我們以鸚鵡螺的螺旋形狀與黃金比例為例，前者是一個巧妙的現象，後者是解釋它的數學。

這個例子就呈現了另一種活用：

√2+√3 ≈ π是一個巧妙的現象

六邊形、圓形、八邊形的面積能解釋這一切。

換句話說，這個例子運用幾何來解釋3個無理數的關聯性，是一個在數學世界裡活用數學的例子。想想，這個觀念倒也不是太新奇，以前數學課偶爾也會有這樣的題目，看起來是幾何，結果用代數才好解。數學本來就是一個很靈活、有彈性的知識。隨著新課綱的數學素養推動，類似的觀念會越來越受到重視，就算不是生活情境題，也要懂得活用數學噢。