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數感實驗室/新課綱數學素養強調的能力 在數學世界裡活用數學

數感實驗室。圖片來源/StockSnap.io
數感實驗室。圖片來源/StockSnap.io

√2≈1.41、√3≈1.73

所以√2+√3 ≈ 1.41+1.73 = 3.14……修但幾咧,這不是圓周率嗎?換句話說,√2+√3 ≈ π?大哲學家卡爾·波普爾認為,是柏拉圖發明了這條件似式,柏拉圖甚至認為這不只是近似,而是√2+√3根本就是圓周率!柏拉圖怎麼想到要用兩個無理數湊出另一個無理數,是外星人在耳邊低語嗎?當然不是,從數字的角度來看的確很不容易解釋,但用幾何觀點就一目了然。

想像一個半徑為1的單位圓和它的外切正六邊形、內接正八邊形。我們來算一下,正六邊形可以看成是6個正三角形組成,每個正三角形的高相當於半徑1,帶入面積公式得到面積為1/√3。正六邊形的面積是6倍,整理後得到是2√3。

類似的算法可以得到,正八邊形的面積是2√2。換句話說,以面積來看,正八邊形<圓形<正六邊形。既然一個比較小,一個比較大,摻在一起(平均),面積不就跟圓差不多了嗎?

這就是√2和√3相加後會近似圓周率的原因。

「活用數學」是新課綱數學素養中非常強調的能力,多數時候我們想到的都是將生活跟數學結合,用數學解決生活情境問題。的確是活用沒錯,可活用不僅限於這樣。我們以鸚鵡螺的螺旋形狀與黃金比例為例,前者是一個巧妙的現象,後者是解釋它的數學。

這個例子就呈現了另一種活用:

√2+√3 ≈ π是一個巧妙的現象

六邊形、圓形、八邊形的面積能解釋這一切。

換句話說,這個例子運用幾何來解釋3個無理數的關聯性,是一個在數學世界裡活用數學的例子。想想,這個觀念倒也不是太新奇,以前數學課偶爾也會有這樣的題目,看起來是幾何,結果用代數才好解。數學本來就是一個很靈活、有彈性的知識。隨著新課綱的數學素養推動,類似的觀念會越來越受到重視,就算不是生活情境題,也要懂得活用數學噢。

108課綱 素養 多元選修

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